对数函数公式(指数函数对数函数公式)

张工 2022-06-18 19:33:49 阅读:26
  

有关对数计算的所有公式

  如果a n=b (A0且a1)

  那么n=log(a)(b)

  基本属性:

  1、a^(log(a)(b))=b

  2、log(a)(MN)=log(a)(M)log(a)(N);

  3、log(a)(MN)=log(a)(M)-log(a)(N);

  4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

  1.因为n=log(a)(b),代入时,a n=b,即a (log (a) (b))=B.

  2、MN=MN

  通过基本属性1(替换M和N)

  a^[log(a)(mn)]=a^[log(a)(m)]a^[log(a)(n)]

  根据指数的性质

  a^[log(a)(mn)]=a^{[log(a)(m)][log(a)(n)]]

  因为指数函数是单调的,所以

  对数(a)(MN)=对数(a)(M)对数(a)(N)

  3.类似于(2)的处理

  MN=MN

  通过基本属性1(替换M和N)

  a^[log(a)(mn)]=a^[log(a)(m)]a^[log(a)(n)]

  根据指数的性质

  a^[log(a)(mn)]=a^{[log(a)(m)]-[log(a)(n)]]

  因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(MN)=log(a)(M) - log(a)(N)

  4.类似于(2)的处理

  M^n=M^n

  根据基本属性1(替换M)

  a^[log(a)(m^n)]={a^[log(a)(m)]}^n

  根据指数的性质

  a^[log(a)(m^n)]=a^{[log(a)(m)]*n}

  因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

  基本属性4概括

  log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

  推导如下:

  通过换底公式(换底公式见下)【lnx是log(e)(x)e的底数称为自然对数】log (a n) (b m)=ln (a n) ln (b n)

  可以从基本性质4得到。

  log(a^n)(b^m)=[nln(a)]

  然后通过改变底部的公式

  Log (a n) (b m)=mn [log (a) (b)] -。

  [编辑此段落]

  属性1:换底公式

  log(a)(N)=log(b)(N)log(b)(a)

  推导如下:

  N=a^[log(a)(N)]

  a=b^[log(b)(a)]

  有两种类型可供选择。

  n={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(n)]=b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}

  并且因为n=b [log (b) (n)]

  因此,b[log(b)(n)]=b {[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}

  所以log(b)(n)=[log(a)(n)]*[log(b)(a)]{这一步不明白或者有疑问就看上面}

  因此,log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

  公式2: log(a)(b)=1/log(b)(a)

  证明如下:

  从换底公式log (a) (b)=log (b) (b)/log (b) (a)中取以b为底的对数。

  Log(b)(b)=1=1/log(b)(a)也可以变形为: log(a)(b)log(b)(a)=1定义:

  如果a n=b (A0且a1)

  那么n=log(a)(b)

  基本属性:

  1、a^(log(a)(b))=b

  2、log(a)(Mn)=log(a)(m)log(a)(n);

  3、log(a)(mn)=log(a)(m)-log(a)(n);

  4、log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

  1.因为n=log(a)(b),代入时,a n=b,即a (log (a) (b))=B.

  2、mn=mn

  通过基本属性1(替换M和N)

  a^[log(a)(mn)]=a^[log(a)(m)]a^[log(a)(n)]

  根据指数的性质

  a^[log(a)

(mn)] = a^{[log(a)(m)] + [log(a)(n)]}

  又因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(mn) = log(a)(m) + log(a)(n)

  3、与(2)类似处理

  mn=m÷n

  由基本性质1(换掉m和n)

  a^[log(a)(m÷n)] = a^[log(a)(m)]÷a^[log(a)(n)]

  由指数的性质

  a^[log(a)(m÷n)] = a^{[log(a)(m)] - [log(a)(n)]}

  又因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(m÷n) = log(a)(m) - log(a)(n)

  4、与(2)类似处理

  m^n=m^n

  由基本性质1(换掉m)

  a^[log(a)(m^n)] = {a^[log(a)(m)]}^n

  由指数的性质

  a^[log(a)(m^n)] = a^{[log(a)(m)]*n}

  又因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

  基本性质4推广

  log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

  推导如下:

  由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x)e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(a^n)÷ln(b^n)

  由基本性质4可得

  log(a^n)(b^m) = [n×ln(a)]÷[m×ln(b)] = (m÷n)×{[ln(a)]÷[ln(b)]}

  再由换底公式

  log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------(性质及推导 完)

  [编辑本段]

  1.对数函数的图象都过(1,0)点.

  2.对于y=log(a)(n)函数,

  ①,当0

  ②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过x=1.

  3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.

  性质一:换底公式

  log(a)(n)=log(b)(n)÷log(b)(a)

  推导如下:

  n = a^[log(a)(n)]

  a = b^[log(b)(a)]

  综合两式可得

  n = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(n)] = b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}

  又因为n=b^[log(b)(n)]

  所以 b^[log(b)(n)] = b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}

  所以 log(b)(n) = [log(a)(n)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}

  所以log(a)(n)=log(b)(n) / log(b)(a)

  公式二:log(a)(b)=1/log(b)(a)

  证明如下:

  由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数

  log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

对数的运算公式

  1对数的概念

  如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

  由定义知:

  ①负数和零没有对数;

  ②a>0且a≠1,N>0;

  ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.

  特别地,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN;以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.

  2对数式与指数式的互化

  式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)

  3对数的运算性质

  如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

  (1)loga(MN)=logaM+logaN.

  (2)logaMN=logaM-logaN.

  (3)logaMn=nlogaM (n∈R).

  问:①公式中为什么要加条件a>0,a≠1,M>0,N>0?

  ②logaan=? (n∈R)

  ③对数式与指数式的比较.(学生填表)

  式子ab=NlogaN=b名称a―幂的底数

  N―a―对数的底数

  质aman=am+n

  am÷an=

  (am)n=

  (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN

  logaMN=

  logaMn=(n∈R)

  (a>0,a≠1,M>0,N>0)

  难点疑点突破

  对数定义中,为什么要规定a>0,,且a≠1?

  理由如下:

  ①若a<0,则N的某些值不存在,例如log-28

  ②若a=0,则N≠0时b不存在;N=0时b不惟一,可以为任何正数

  ③若a=1时,则N≠1时b不存在;N=1时b也不惟一,可以为任何正数

  为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1的正数

  题目呢???

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